Уважаемый Александр Семенович!
Согласно ст. 161, 162 Гражданского кодекса РФ, должны совершаться в простой письменной форме, за исключением сделок, требующих нотариального удостоверения: 1) сделки юридических лиц между собой и с гражданами; 2) сделки граждан между собой на сумму, превышающую не менее чем в десять раз установленный законом минимальный размер оплаты труда, а в случаях, предусмотренных законом, - независимо от суммы сделки.
Несоблюдение простой письменной формы сделки лишает стороны права в случае спора ссылаться в подтверждение сделки и ее условий на свидетельские показания, но не лишает их права приводить письменные и другие доказательства.
В случаях, прямо указанных в законе или в соглашении сторон, несоблюдение простой письменной формы сделки влечет ее недействительность.
Согласно ст. 702, 730, 740 ГК РФ, По договору подряда одна сторона (подрядчик) обязуется выполнить по заданию другой стороны (заказчика) определенную работу и сдать ее результат заказчику, а заказчик обязуется принять результат работы и оплатить его.
По договору строительного подряда подрядчик обязуется в установленный договором срок построить по заданию заказчика определенный объект либо выполнить иные строительные работы, а заказчик обязуется создать подрядчику необходимые условия для выполнения работ, принять их результат и уплатить обусловленную цену.
По договору бытового подряда подрядчик, осуществляющий соответствующую предпринимательскую деятельность, обязуется выполнить по заданию гражданина (заказчика) определенную работу, предназначенную удовлетворять бытовые или другие личные потребности заказчика, а заказчик обязуется принять и оплатить работу.

Таким образом, в Вашей ситуации правоотношения по ремонту квартиры квалифицируются как строительный (бытовой) подряд и регулируются путем заключения договора подряда. В законодательстве не установлено обязательное требование к письменной форме договора подряда, в результате несоблюдения которого он будет считаться недействительным. Но существует общее правило об обязательности письменной формы сделки между юридическими лицами или юридическим лицом и гражданином. В случае несоблюдения этого требования стороны не могут при споре ссылаться на свидетельские показания. Соответственно Вы не можете подтвердить факт ремонта квартиры и наличия договора с заказчиком путем показаний свидетелей. Но Вы можете предоставлять письменные и иные доказательства. К примеру, аудиовизуальные. Потому Вам необходимо сделать аудиозапись беседы с заказчиком, где он подтвердить факт наличия устного договора и факт выполнения Вами работ в полном объеме. Также сделайте фото квартиры с ремонтом. Дальше обращайтесь в суд, доказывайте факт наличия фактических правоотношений между Вами и заказчиком и взыскивайте неуплаченные суммы.

Всего наилучшего!
С уважением, Максим Геннадьевич Кавджарадзе.