Уважаемая Юлия Анатольевна!

Согласно ст. 161, 162 Гражданского кодекса РФ, должны совершаться в простой письменной форме, за исключением сделок, требующих нотариального удостоверения:
1) сделки юридических лиц между собой и с гражданами;
2) сделки граждан между собой на сумму, превышающую десять тысяч рублей, а в случаях, предусмотренных законом, - независимо от суммы сделки.

Несоблюдение простой письменной формы сделки лишает стороны права в случае спора ссылаться в подтверждение сделки и ее условий на свидетельские показания, но не лишает их права приводить письменные и другие доказательства.
В случаях, прямо указанных в законе или в соглашении сторон, несоблюдение простой письменной формы сделки влечет ее недействительность.

Таким образом, договор подряда должен был быть заключен в простой письменной форме. Теперь нам необходимо разобраться, считается ли Ваш договор заключенным в простой письменной форме. Из описанных Вами обстоятельств на первый взгляд можно подумать что нет. Однако в Вашей ситуации договор все таки был заключен в письменной форме по следующим законодательным основаниям.
Согласно ст. 434 ГК РФ, договор в письменной форме может быть заключен путем составления одного документа, подписанного сторонами, а также путем обмена документами посредством почтовой, телеграфной, телетайпной, телефонной, электронной или иной связи, позволяющей достоверно установить, что документ исходит от стороны по договору.
Письменная форма договора считается соблюденной, если письменное предложение заключить договор принято в следующем порядке: совершение лицом, получившим оферту, в срок, установленный для ее акцепта, действий по выполнению указанных в ней условий договора (отгрузка товаров, предоставление услуг, выполнение работ, уплата соответствующей суммы и т.п.) считается акцептом, если иное не предусмотрено законом, иными правовыми актами или не указано в оферте.
Согласно ст. 165.1 ГК РФ (Юридически значимые сообщения), заявления, уведомления, извещения, требования или иные юридически значимые сообщения, с которыми закон или сделка связывает гражданско-правовые последствия для другого лица, влекут для этого лица такие последствия с момента доставки соответствующего сообщения ему или его представителю.
Сообщение считается доставленным и в тех случаях, если оно поступило лицу, которому оно направлено (адресату), но по обстоятельствам, зависящим от него, не было ему вручено или адресат не ознакомился с ним.
Поэтому в Вашем случае Вы имеете полноценный договор подряда, заключенный в простой письменной форме. Соответственно необходимо ответить на основной Ваш вопрос – как воздействовать на заказчика.
Согласно ст. 712 ГК РФ, у Вас есть право на удержание результатов работы. При неисполнении заказчиком обязанности уплатить установленную цену либо иную сумму, причитающуюся подрядчику в связи с выполнением договора подряда, подрядчик имеет право на удержание результата работ, а также принадлежащих заказчику оборудования, переданной для переработки (обработки) вещи, остатка неиспользованного материала и другого оказавшегося у него имущества заказчика до уплаты заказчиком соответствующих сумм.
Соответственно первый этап Вашего воздействия на заказчика – это удержание результатов работы.
Если же это не поможет получить оплату, то обращайтесь в суд с требованием взыскать с Заказчика стоимость выполненной работы. При этом доказательствами наличия между вами правоотношений и наличия письменного договора будет являться вся переписка по электронной почте, а также результаты работы, расходы на ее выполнение и так далее.
Так что у Вас прекрасные шансы восстановить свои права и получить желаемую оплату.

Всего Вам наилучшего!
С уважением, Кавджарадзе Максим Геннадьевич.