Уважаемая Елена Александровна!
Относительно лишения родительских прав поясняю следующее.
Согласно Семейному кодексу РФ, родители (один из них) могут быть лишены родительских прав, если они уклоняются от выполнения обязанностей родителей, в том числе при злостном уклонении от уплаты алиментов.
Порядок лишения родительских прав: Дела о лишении родительских прав рассматриваются по заявлению одного из родителей или лиц, их заменяющих, заявлению прокурора, а также по заявлениям органов или организаций, на которые возложены обязанности по охране прав несовершеннолетних детей (органов опеки и попечительства, комиссий по делам несовершеннолетних, организаций для детей-сирот и детей, оставшихся без попечения родителей, и других). Дела о лишении родительских прав рассматриваются с участием прокурора и органа опеки и попечительства. При рассмотрении дела о лишении родительских прав суд решает вопрос о взыскании алиментов на ребенка с родителей (одного из них), лишенных родительских прав. Суд обязан в течение трех дней со дня вступления в законную силу решения суда о лишении родительских прав направить выписку из этого решения суда в орган записи актов гражданского состояния по месту государственной регистрации рождения ребенка.
Последствия лишения родительских прав: Родители, лишенные родительских прав, теряют все права, основанные на факте родства с ребенком, в отношении которого они были лишены родительских прав, в том числе право на получение от него содержания, а также право на льготы и государственные пособия, установленные для граждан, имеющих детей.
Таким образом, Вы можете в судебном порядке лишить своего бывшего супруга родительских прав на основании злостного уклонения от уплаты алиментов.

Относительно работы по совместительству/совмещению поясняю.
Согласно Трудовому кодексу РФ, по заявлению женщины во время нахождения в отпуске по уходу за ребенком она может работать на условиях неполного рабочего времени или на дому с сохранением права на получение пособия по государственному социальному страхованию.
На период отпуска по уходу за ребенком за работником сохраняется место работы (должность).
Таким образом, Вы можете работать на условиях неполного рабочего времени или на дому и будете продолжать получать пособие. Прежнее место работы за вами сохранится.

Успехов!
С уважением, Кавджарадзе Максим Геннадьевич.